Matrice inverse

Méthode pour obtenir la matrice inverse

Remarque :
Si $M$ est une matrice carrée inversible de dimension $n$, $M^{-1}$ s'obtient en résolvant un système linéaire à $n$ équations de la forme $MX=B$, où l'inconnue $X$ appartient à $\Bbb R^n$ et où le second membre $B$ parcourt la base canonique de $\Bbb R^n$, à savoir $B\in\left\{\begin{pmatrix}1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\ 1\\ \vdots\\ 0\end{pmatrix},\ldots,\begin{pmatrix}0\\ 0\\ \vdots\\ 1\end{pmatrix}\right\}$
(Matrice carrée, Matrice inversible, Dimension, Système linéaire, Base canonique)
Matrice augmentée - Algorithme du compagnon
Règle de Cramer - Méthode de Cramer

Matrices inverses particulières

Matrice inverse d'un produit de matrices

Si $A$ et $B$ sont deux matrices inversibles, alors : $${{(AB)^{-1} }}={{B^{-1}A^{-1} }}$$
(Produit matriciel)

Matrice inverse d'une matrice carrée par blocs avec des blocs nuls

$${{\left(\begin{array}{c|ccc}1&0&\cdots&0\\ \hline0\\ \vdots&&P\\ 0\end{array}\right) }}^{-1}={{\left(\begin{array}{c|ccc}1&0&\cdots&0\\ \hline0\\ \vdots&&P^{-1}\\ 0\end{array}\right) }}$$

Opérations sur les matrices inverses

Matrice inverse

Quelques formules

On a :
$${{(A+H)^{-1}}}={{A^{-1}-A^{-1} HA^{-1}+o(\lVert H\rVert)}}$$